某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．

1. 某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如： $\text{[math]}$ ．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．

(1) 请利用“分离常数法”将分式 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ （其中m，n为常数），求m，n的值；

(2) 若分式 $\text{[math]}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值．

(3) 利用分离常数法，求分式 $\text{[math]}$ 的最大值．

【考点】

分式的值; 分式的基本性质; 分式的加减法;

【答案】

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计算题普通

1. 下面是亮亮进行分式化简 $\text{[math]}$ 的过程：

解：原式 $\text{[math]}$ 第一步

$\text{[math]}$ 第二步

$\text{[math]}$ 第三步

$\text{[math]}$ 第四步

$\text{[math]}$ 第五步

$\text{[math]}$ ．第六步

(1) 第二步的依据是______；

(2) 亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；

(3) 请写出正确的化简过程；

(4) 在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．

计算题普通

2. 阅读材料：

在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，

如： $\text{[math]}$ ，这样，分式就拆分成了一个分式 $\text{[math]}$ 与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：

(1) 将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；

(2) 利用分离常数法，求分式 $\text{[math]}$ 的最大值．

(3) 已知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，若x，y均为非零整数，求 $\text{[math]}$ 的值．

计算题普通

3. 阅读材料：

分式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最大值是多少？

解： $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ． ∴ $\text{[math]}$ 的最小值是3．∴ $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ． ∴ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最大值是 $\text{[math]}$ ．

解决问题：

(1) 分式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的最大值是；

(2) 求分式 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 若分式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的值为整数，请直接写出整数x的值．

计算题普通