测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．

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1. 测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形 $\text{[math]}$ ，小明（用点 $\text{[math]}$ 表示）以 $\text{[math]}$ 的速度从顶点 $\text{[math]}$ 出发沿折线 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，同时小刚（用点 $\text{[math]}$ 表示）以 $\text{[math]}$ 的速度从顶点 $\text{[math]}$ 出发向点 $\text{[math]}$ 运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．

(1) 问小明和小刚走动几秒，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积是矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ；

(2) 问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 一元一次方程的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图A，B，C，D为矩形的四个顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 $\text{[math]}$ 的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以 $\text{[math]}$ 的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．

(1) $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （用含t的代数式表示）；

(2) t为多少时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ；

(3) t为多少时，点P和点Q的距离为 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，某一时刻，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动；同时，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以 $\text{[math]}$ 的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，两点同时停止运动，问：

(1) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ？

(2) 经过多长时间， $\text{[math]}$ 的面积等于长方形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？

解答题普通

3. 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳．

【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④

【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且AB与地面垂直，如图⑤，小组同学选取 $\text{[math]}$ 的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面 $\text{[math]}$ 与地面距离为 $\text{[math]}$ ，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移__________ $\text{[math]}$ 时可将凳高调整为 $\text{[math]}$ ．

【驱动任务三】

根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长的木棒恰好能截成 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则成品桌子的高度 $\text{[math]}$ 为________ $\text{[math]}$ ．

解答题普通