已知图，请用尺规作图法在射线上找一点P，使射线平分．小明的作图方法如下：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点N，交于点M．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在的内部相交于点E．③画射线，交射线于点P，点P即为所求．小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以点C为圆心，为半径画弧，交射线于点P，画射线，也能够得到平分． ”请回答：

1. 已知图 $\text{[math]}$ ，请用尺规作图法在射线 $\text{[math]}$ 上找一点P，使射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．小明的作图方法如下：

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点N，交 $\text{[math]}$ 于点M．

②分别以点M，N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，在 $\text{[math]}$ 的内部相交于点E．

③画射线 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点P，点P即为所求．

小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以点C为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画弧，交射线 $\text{[math]}$ 于点P，画射线 $\text{[math]}$ ，也能够得到 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ． ”请回答：

(1) 请在图1中补全小明的作图过程（要求尺规作图，保留作图痕迹）．小明在作图的过程中，若连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 就可以构造出一对全等三角形，它们是______ $\text{[math]}$ ______，全等的依据是______．

因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ；

(2) 对于小刚的作图方法证明如下：

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （____________）（填依据）

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ______，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

(3) 点P到直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的距离相等，理由是______．

【考点】

平行线的性质; 角平分线的性质; 等腰三角形的性质; 三角形全等的判定-SSS; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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作图题普通

作图题普通

作图题普通

作图题困难