意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（）

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1. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为 $\text{[math]}$ ，图2中空白部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则下列对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所列等式不正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

【考点】

勾股定理; 勾股定理的证明;

【答案】

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【来源】河北省唐山市2022-2023学年冀教版八年级上学期结课综合考试数学试卷

单选题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 用一张纸片剪出一个空洞，空洞由边长分别为a，b的两个正方形和斜边为c的两个直角三角形组成，如图所示，下列表示空洞面积的式子正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边作正方形．若 $\text{[math]}$ ，则正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 的面积和为（　　）

A. 25 B. 36 C. 49 D. 64

单选题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的三边为边向外作三个正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示这三个正方形的面积，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

A. $\text{[math]}$ B. 10 C. 25 D. 5

单选题容易

1. 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为斜边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长为( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 10

单选题普通

3. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

单选题普通

1. 著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $\text{[math]}$ ，较小的直角边长都为 $\text{[math]}$ ，斜边长都为 $\text{[math]}$ )，大正方形的面积可以表示为 $\text{[math]}$ ，也可以表示为 $\text{[math]}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，斜边长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

【结论探究】

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；

【结论应用】

(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $\text{[math]}$ ，河边原有两个取水点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由于某种原因，由 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上 $\text{[math]}$ ，并新修一条路 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．测得 $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ 千米，求新路 $\text{[math]}$ 比原路 $\text{[math]}$ 少多少千米？

【问题拓展】

(3) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

证明题普通

2. 如图，以 $\text{[math]}$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为．

填空题普通

3. 图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理 $\text{[math]}$ ．如图2，小明连结 $\text{[math]}$ 后发现 $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ ；

（2）当四边形 $\text{[math]}$ 的面积为22时，正方形 $\text{[math]}$ 的面积为．

填空题困难

1. 我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式.如图 1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理.勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一.

(1) 如图 2，正方形 ABCD和正方形 CEFG通过拼接，正好可以构造正方形 AHFK.

①若正方形 ABCD和正方形 CEFG的边长分别是 4，3，则△ABH的周长是 ▲ ；

②若正方形 ABCD，正方形 CEFG和正方形 AHFK的边长分别是 a，b，c，求证： $\text{[math]}$

(2) 如图 3，以 Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形 ACDE，正方形 BCGF，正方形 ABHK.连接 DG，FH.观察图形中的面积关系，容易看出 $\text{[math]}$ 猜测 S△ABC与 S△BFH是否相等?并说明理由.

(3) 如图 4，在直线 l上方有正方形 ABCD，正方形 AEFG，正方形 CHMN，正方形 DGJK，正方形 DNPQ，求证： S正方形 DGJK+S正方形DNPQ=5S正方形 ABCD.

解答题困难

2. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1) 如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： $\text{[math]}$

∴_____；

∴_____，得证．

(2) 应用勾股定理

①应用一：在数轴上画出表示无理数的点

如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使 $\text{[math]}$ ，以原点O为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____；

②应用二：最短路径问题

如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为 $\text{[math]}$ ，圆柱的底面半径为 $\text{[math]}$ ，那么最短的路线长是_____；

③应用三：解决实际问题．

如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，将它往前推 $\text{[math]}$ 至C处时，即水平距离 $\text{[math]}$ ，踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，它的绳索始终拉直，求绳索 $\text{[math]}$ 的长．