当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.

1. 当 $\text{[math]}$ 的三个内角均小于 $\text{[math]}$ 时，使得 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“费马点”；当 $\text{[math]}$ 有一个内角大于或等于 $\text{[math]}$ 时，最大内角的顶点为 $\text{[math]}$ 的“费马点”.已知在 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是 $\text{[math]}$ 的“费马点”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①求 $\text{[math]}$ ；

②设 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

平面向量的线性运算; 两角和与差的正弦公式; 解三角形; 正弦定理; 余弦定理; 三角形中的几何计算;

【答案】

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解答题普通

1. 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为BC上一点，且 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 于点F，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 利用图中边长关系 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 如图所示，已知矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， AC与MN相交于点E．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 用向量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在线段BC上，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q（图1），求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 过点 $\text{[math]}$ 的直线与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于点E，F（图2），设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（i）求证 $\text{[math]}$ 为定值；

（ii）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通