数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线，再将三角板MBC（， MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形.

1. 数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线 $\text{[math]}$ ，再将三角板MBC（ $\text{[math]}$ ， MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形.

(1) 如图1，若点B在直线b上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的关系？写出结论，并给出证明；

(3) 如图3，若点B在直线b的下方，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系.

【考点】

平行线的性质; 对顶角及其性质; 余角; 平行公理的推论;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践数学社团的同学以“两条平行线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）”为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间．

(1) 观察猜想：如图1，把三角板的 $\text{[math]}$ 角的顶点E，G 分别放在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点 G 放在 $\text{[math]}$ 上，且保持不动，绕点 G 转动三角板，若点E恰好落在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹锐角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 解决问题：把三角板的锐角顶点G放在 $\text{[math]}$ 上，在绕点G旋转三角板的过程中，若存在 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，请求出射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交所夹锐角的度数．

实践探究题普通

2. 综合与探究

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．

(1) 如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的斜边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2，在图1的基础上，直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，让直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使得点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转（旋转度数小于 $\text{[math]}$ ），设边 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当斜边 $\text{[math]}$ 与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）的度数．

实践探究题困难

3. 探究问题：已知 $\text{[math]}$ ，画一个角 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且DE交BC于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系？

(1) 我们发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有两种位置关系：如图1与图2所示．

①图1中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系为 ▲ ；

图2中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 数量关系为 ▲ ；

因此得出一个真命题（用文字叙述）： ▲ ．

②请选择其中一幅图证明结论．

(2) 根据①所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．

实践探究题困难