已知复数，为虚数单位.

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位.

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若复数 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

复数代数形式的乘除运算; 复数代数形式的加减运算; 复数的模; 方程的解与虚数根;

【答案】

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解答题容易

1. 任意一个复数 $\text{[math]}$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为： $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ．如果令 $\text{[math]}$ ，则能导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ ．请用以上知识解决以下问题．

(1) 试将 $\text{[math]}$ 写成三角形式；

(2) 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(3) 计算： $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 设 $\text{[math]}$ 是虚数， $\text{[math]}$ 是实数且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值以及 $\text{[math]}$ 实部的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为纯虚数.

解答题普通

3. 已知复数 $\text{[math]}$ ，

(1) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通