在中，，， .

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求A；

(2) D为边 $\text{[math]}$ 的中点，E为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于P.

（i）若E为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（ii）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

向量的模; 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角; 正弦定理的应用; 余弦定理的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的模长．

解答题普通

2. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则欧几里得距离 $\text{[math]}$ ；曼哈顿距离 $\text{[math]}$ ，余弦距离 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的曼哈顿距离 $\text{[math]}$ 和余弦距离 $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的两动点，问是否存在直线 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出所有满足条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程，若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为 $\text{[math]}$ nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为 $\text{[math]}$ n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；

(2)灯塔C与D处的距离．

解答题普通