三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为

1. 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当 $\text{[math]}$ 内一点 $\text{[math]}$ 满足条件 $\text{[math]}$ 时，则称点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的布洛卡点，角 $\text{[math]}$ 为布洛卡角．如图，在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的布洛卡点，其布洛卡角为 $\text{[math]}$

(1) 若 $\text{[math]}$ ．求证：

① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 为等边三角形．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

正弦定理的应用; 余弦定理的应用; 解三角形的实际应用; 三角形中的几何计算;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，有一直径为 $\text{[math]}$ 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 $\text{[math]}$ 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的 $\text{[math]}$ 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．

解答题普通

2. 如图，在海岸边的观测站A点发现南偏西 $\text{[math]}$ 方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点 $\text{[math]}$ 海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻以 $\text{[math]}$ 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向逃窜.

(1) 刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？

(2) 缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

解答题普通

3. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$

(2) 若 $\text{[math]}$ ，角 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ .

（I）求证： $\text{[math]}$ .

（II）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值

解答题普通