已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值，并求出 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

复合函数的单调性; 函数的奇偶性; 抽象函数及其应用; 基本不等式;

【答案】

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解答题普通

1. 若存在有限个 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 不是偶函数，则称 $\text{[math]}$ 为“缺陷偶函数”，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的偶点.

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的偶点.

(2) 若 $\text{[math]}$ 均为定义在 $\text{[math]}$ 上的“缺陷偶函数”，试举例说明 $\text{[math]}$ 可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”.

(3) 对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ .

①比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

②若 $\text{[math]}$ 是“缺陷偶函数”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 求不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）是偶函数，函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 有零点，求a的取值范围：

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难