已知，，是自然对数的底数．

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是自然对数的底数．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个不等实根，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，若满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

利用导数研究函数的极值; 函数与方程的综合运用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的极值；

(2) 比较 $\text{[math]}$ 的大小，并画出 $\text{[math]}$ 的大致图像；

(3) 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有实数解，直接写出实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值；

(2) 讨论函数 $\text{[math]}$ 的极值点个数.

解答题普通

3. 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数．若对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“凸函数”．已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的凸函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有极值，求整数 $\text{[math]}$ 的最小值．

（参考数据 $\text{[math]}$ ）

解答题困难