如图，在三棱锥中，侧面和底面均为正三角形，且，．

1. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 和底面 $\text{[math]}$ 均为正三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ．

(ⅰ)若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；

(ⅱ)若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

空间中直线与直线之间的位置关系; 直线与平面垂直的判定; 直线与平面所成的角; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通

2. 如图，已知等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 翻折成 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角.

解答题普通

3. “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有 2000 多年的历史。相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源。后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”。到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来䄇糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动。风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成。如图(1)就是一个由菱形的风筝面 $\text{[math]}$ 和两个直角三角形尾翼 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所组成的风筝。其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现将此风筝的两个尾翼分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 折起，使得P与点Q重合于点S ，并连结 $\text{[math]}$ ，得到如图(2)所示的四棱锥 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(2) 若E为棱 $\text{[math]}$ 上一点，记 $\text{[math]}$ .

①若 $\text{[math]}$ 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正切值；

②是否存在点E使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，若存在请求出 $\text{[math]}$ 的值，若不存在请说明理由.

解答题困难