如图，内接于为直径，为OA上的点，连结CD并延长交于点E，F为BC上的点，连结EF交AB于点，已知.

1. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 为直径， $\text{[math]}$ 为OA上的点，连结CD并延长交 $\text{[math]}$ 于点E，F为BC上的点，连结EF交AB于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ 的大小.

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

(3) 连结FO并延长交CE于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

三角形内角和定理; 圆周角定理; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通

2. 小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

(1) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为⊙O上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你写出图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

(2) 小锐目测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？

已知：如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

综合题普通

3. 已知I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，连BD．

(1) 在图1中，求证：DB=DI；

(2) 如图2，若AB为直径，且OI⊥AD于I点，DE切圆于D点，求sin∠ADE的值．

综合题困难