【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

1. 【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个直角三角板按照如图1所示的方式摆放．其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【问题探究】小昕同学将三角板 $\text{[math]}$ 绕点B按顺时针方向旋转．

(1) 如图2，当点E落在边 $\text{[math]}$ 上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) 如图4，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则在三角板 $\text{[math]}$ 旋转过程中，点G到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值是．

【考点】

勾股定理; 直线与圆的位置关系; 旋转的性质; 解直角三角形—边角关系;

【答案】

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实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难