根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度．任务3换算高度楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1 ．

1. 小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图①所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动，如图②是其侧面示意图，现测得底座最高点 $\text{[math]}$ 到桌面高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，小兴妈妈通过转动镜面，测得 $\text{[math]}$ ，求此时镜面上的点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

综合题容易

2. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为 $\text{[math]}$ 表 $\text{[math]}$ ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 $\text{[math]}$ 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 $\text{[math]}$ 垂直圭 $\text{[math]}$ ，已知该市冬至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，夏至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $\text{[math]}$ 的长）为 $\text{[math]}$ 米，求表 $\text{[math]}$ 的长（最后结果精确到 $\text{[math]}$ 米）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题容易

3. 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已经倾斜，其塔顶中心点B偏离垂直中心线 $\text{[math]}$ .1972年比萨地区发生地震，这座高 $\text{[math]}$ 的斜塔在大幅度摇摆后仍岿然屹立，但此时塔身中心线与垂直中心线所成的夹角增至 $\text{[math]}$ (如图)，求此时塔顶中心点偏离垂直中心线比落成时增加了多少米(结果精确到0.1m)？ $\text{[math]}$

综合题容易

1. 如图1，某人的一器官后面 $\text{[math]}$ 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：

课题	检测新生物到皮肤的距离
工具	医疗仪器等
示意图
说明	如图2，新生物在 $\text{[math]}$ 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 $\text{[math]}$ 处照射新生物，检测射线与皮肤 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ；再在皮肤上选择距离 $\text{[math]}$ 处 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处照射新生物，检测射线与皮肤 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
测量数据	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

请你根据上表中的测量数据，计算新生物 $\text{[math]}$ 处到皮肤的距离．（结果精确到 $\text{[math]}$ ）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

计算题普通

2. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

计算题普通

3. 为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过 $\text{[math]}$ 就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为3：2．

（1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为 $\text{[math]}$ 时，请计算红外测温仪距离地面的高度 $\text{[math]}$ （连接处均忽略不计）；

（2）在使用期间发现，将顶端测温仪 $\text{[math]}$ 倾斜与水平线夹角为 $\text{[math]}$ ，斜拉支架与铅垂线 $\text{[math]}$ 的夹角也是 $\text{[math]}$ 时，学生（按平均身高）走到距离点 $\text{[math]}$ 米的点 $\text{[math]}$ 处时，测温仪 $\text{[math]}$ 与学生的额头 $\text{[math]}$ 恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

计算题困难

1. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 $\text{[math]}$ 进行改造，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 $\text{[math]}$ （结果保留根号）．

填空题容易

2. 如图1是两扇推拉门， $\text{[math]}$ 是门槛， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是可转动门宽．现将两扇门推到如图2的位置（平面示意图），其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的距离为 $\text{[math]}$ ，则门槛 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

3. 人体工学椅提出正确的座垫高度须将座垫高度调整到人的双脚能平放于地面，且大腿之弯曲角度呈现 $\text{[math]}$ ．如图是一男士座椅情况和示意图，若 $\text{[math]}$ ，该椅子座垫高度还要升高多少 $\text{[math]}$ ，才符合体工学椅的要求（　　）

A. 40sin50°﹣40 B. 40cos50°﹣40 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由 $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 构成的图形为杯盖部分，其中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均在以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ G为 $\text{[math]}$ 的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁 $\text{[math]}$ ，杯底直径 $\text{[math]}$ ，杯壁与直线l的夹角为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求杯口半径 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若杯盖顶 $\text{[math]}$ ，吸管 $\text{[math]}$ ，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分 $\text{[math]}$ 的长．（参考数据： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）.

解答题困难

2. 随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆 $\text{[math]}$ 上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨 $\text{[math]}$ 与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ ，伞骨AB与AC水平方向的最大距离 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，撑杆 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图②，当伞完全撑开并直立时，求点 $\text{[math]}$ 到地面的距离．

(2) 某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜 $\text{[math]}$ 与铅垂线 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 夹角，如图③，若斜射阳光与 $\text{[math]}$ 所在直线垂直时，求 $\text{[math]}$ 在水平地面上投影的长度约是多少．（说明： $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ ）

解答题困难

3. 如图1，某玩具风车的支撑杆 $\text{[math]}$ 垂直于桌面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为风车中心， $\text{[math]}$ ，风车在风吹动下绕着中心 $\text{[math]}$ 旋转，叶片端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 四等分，已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 风车在转动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧，如图2所示，求点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

(2) 在风车转动一周的过程中，求点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离不超过 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长（结果保留 $\text{[math]}$ ）；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求切线长 $\text{[math]}$ 的值，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到桌面 $\text{[math]}$ 的距离的差．

综合题困难

1. 去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

解答题普通

2. 如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（ $\text{[math]}$ +1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？

解答题普通

3.

如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米.则小巷的宽度为（）

A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米

单选题普通

测算发射塔的高度
背景素材	某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度 $\text{[math]}$ （如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

	经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任务1	分析规划	选择两个观测位置：点_________和点_________
任务1	获取数据	写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．
任务2	推理计算	计算发射塔的图上高度 $\text{[math]}$ ．
任务3	换算高度	楼房实际宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，请通过测量换算发射塔的实际高度．