如图1、图2，半圆O的直径，的长．作于点E，交半圆O于点D．

1. 如图1、图2，半圆O的直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ ．作 $\text{[math]}$ 于点E，交半圆O于点D．

(1) ①求 $\text{[math]}$ 的大小；

②求弦 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，过点C作半圆O的切线 $\text{[math]}$ ．请直接写出点D到切线 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 垂径定理; 圆心角、弧、弦的关系; 已知余弦值求边长;

【答案】

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解答题普通

1. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A在 $\text{[math]}$ 上，点B为线段 $\text{[math]}$ 中点，过点B作 $\text{[math]}$ 垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ，试探究点 $\text{[math]}$ 的轨迹．

【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点 $\text{[math]}$ 在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：

证明：

证明过程缺失

∴点 $\text{[math]}$ 在以点______为圆心，______为半径的圆上．

（1）请你补全证明中的缺失过程．

【结论应用】（2）如图②， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A与点C在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ．点B为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ．当点P从点A运动到点C时，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为______．

【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“ $\text{[math]}$ ”去掉，其它条件不变， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 直径．点D到点 $\text{[math]}$ 距离d的取值范围是______．

解答题困难

2. 已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一点O，以O为圆心、OB为半径作圆，且⊙O过A点．

（Ⅰ）如图①，若⊙O的半径为5，求线段OC的长；

（Ⅱ）如图②，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接BD，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否相等，并说明理由．

解答题普通