已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．

①求线段 $\text{[math]}$ 的最大长度；

②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，AB，CD是两个过江电缆的铁塔，塔高均为40米，AB的中点为P，小丽在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E，P，C在一直线上，且P，D离江面的垂直高度相等．跨江电缆AC因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆AC下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知塔底B距江面的垂直高度为6米，电缆AC下垂的最低点刚好满足最低高度要求．

(1) 求电缆最低点与河岸EB的垂直高度h及两铁塔轴线间的距离（即直线AB和CD之间的水平距离）．

(2) 求电缆AC形成的抛物线的二次项系数．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P是抛物线上的一个动点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D．当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 过点P作x轴的垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，当点M的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点A，与 $\text{[math]}$ 轴交于点C，过点C的抛物线 $\text{[math]}$ 与直线AC交于另一点B(4，3)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知 $\text{[math]}$ 轴上一动点Q( $\text{[math]}$ ， 0)，连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通