已知抛物线与x轴交于点、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

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1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．

①求线段 $\text{[math]}$ 的最大长度；

②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-线段周长问题; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 关于抛物线的对称轴对称．

(1) 分别求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上有一点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长的最大值；

(3) 在（2）的条件下，如图 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 的右侧、 $\text{[math]}$ 轴下方的抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？如果存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点C，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求该二次函数的表达式；

(2) 点M为抛物线对称轴上一动点，是否存在点M使得 $\text{[math]}$ 有最大值，若存在，请直接写出其最大值及此时点M坐标，若不存在，请说明理由．

(3) 连接 $\text{[math]}$ ， P为第一象限内抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为D，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似，请求出满足条件的P点坐标：若没有满足条件的P点，请说明理由．

解答题普通

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图①，抛物线上一点D在线段 $\text{[math]}$ 的上方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ，求点D的坐标；

(3) 如图②，F为抛物线顶点，过A作直线 $\text{[math]}$ ，点Q在x轴上运动，点P在抛物线对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．

解答题困难