如图，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为轴建立如图所示直角坐标系．已知中间立柱顶端到地面的距离为，喷水头恰好是立柱的中点．若水柱上升到最高点时，高度为，到中间立柱的距离为．

1. 如图 $\text{[math]}$ ，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间立柱近似看作一条线，以其为 $\text{[math]}$ 轴建立如图 $\text{[math]}$ 所示直角坐标系．已知中间立柱顶端 $\text{[math]}$ 到地面的距离为 $\text{[math]}$ ，喷水头 $\text{[math]}$ 恰好是立柱 $\text{[math]}$ 的中点．若水柱上升到最高点 $\text{[math]}$ 时，高度为 $\text{[math]}$ ，到中间立柱的距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求图 $\text{[math]}$ 中第一象限内抛物线的函数表达式．

(2) 为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米?

(3) 实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成 $\text{[math]}$ ，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 $\text{[math]}$ 处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-喷水问题;

【答案】

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综合题困难

1. 高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面 $\text{[math]}$ 的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为 $\text{[math]}$ ．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为 $\text{[math]}$ ，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为 $\text{[math]}$ ．建立如图所示的平面直角坐标系．水流的高度 $\text{[math]}$ 与到高楼的水平距离 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式；

(2) 若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；

(3) 若消防员站在到高楼水平距离为 $\text{[math]}$ 的地方，想要扑灭距地面高度 $\text{[math]}$ 范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为 $\text{[math]}$ 时，直接写出a的取值范围．

综合题普通

2. 图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为 $\text{[math]}$ 的圆内，喷泉的水流均看做抛物线的一部分．下层喷泉 $\text{[math]}$ 的喷水口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为 $\text{[math]}$ ，水流的最高点距离地面 $\text{[math]}$ ；上层喷泉 $\text{[math]}$ 的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点．以圆心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线l为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y（单位：m），水流距离中心线的水平距离为x（单位：m）

(1) 求图3中下层喷泉所对应抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式；（不必写x的取值范围）

(2) 当图3中上层喷泉所对应抛物线 $\text{[math]}$ 的函数解析式为 $\text{[math]}$ 时，视觉效果最佳．

①试推算b，c应满足的数量关系；

②结合实际环境，要求上层喷泉 $\text{[math]}$ 的水流最大高度不低于 $\text{[math]}$ ，且不高于 $\text{[math]}$ ，求出b的取值范围．

综合题普通

3. 消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面 $\text{[math]}$ ，距离原点的水平距离为 $\text{[math]}$ ，着火点A距离点B的水平距离为 $\text{[math]}$ ，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为 $\text{[math]}$ （其中b，c为常数）．

(1) 写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式．

(2) 若着火点A高出地面 $\text{[math]}$ ，

①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；

②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离 $\text{[math]}$ 的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值．

综合题普通