如图1，E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”．

1. 如图1，E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”．

(1) 求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；

(2) ①如图2，连接AC、BD交于点O，可得M、N两点都在BD上，当▱ABCD满足 ▲ 时，中顶点四边形AMCN是菱形；

②如图3，已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）

【考点】

平行四边形的判定与性质; 菱形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 三角形的重心及应用; 三角形的中位线定理; 四边形的综合;

【答案】

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解答题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离.

解答题普通

2. 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；

(2) 若平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，求菱形 $\text{[math]}$ 的面积．

解答题普通

3. 如图，四边形ABCD是菱形， $\text{[math]}$ 为对角线AC的中点，点 $\text{[math]}$ 在AB的延长线上， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AD的延长线上， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求证：四边形CEHF是菱形.

解答题普通