在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC ， D为直线BC上任意一点，连接AD ．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED ，连接BE ．

1. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC ， D为直线BC上任意一点，连接AD ．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED ，连接BE ．

(1) 【尝试发现】

如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；

(2) 【类比探究】

当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；

(3) 【联系拓广】

若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．

【考点】

勾股定理; 坐标与图形变化﹣旋转; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-AAS; 求正弦值;

【答案】

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实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难