观察下列各式：；；；；⋯⋯⋯，则

1. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）的展开式（按 $\text{[math]}$ 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应 $\text{[math]}$ 展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应 $\text{[math]}$ 展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，写出 $\text{[math]}$ 的展开式

（2） $\text{[math]}$ 展开式中第三项系数为：

填空题容易

2. 将一组数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， … $\text{[math]}$ 按如图所示的方法进行排列，若 $\text{[math]}$ 的位置记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置记为 $\text{[math]}$ ，则这组数中最大的有理数的位置记为．

填空题容易

3. 小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：

输入	…	1	2	3	4	5	…
输出	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	…

那么，当输入数据为8时，输出的数据为．

填空题容易

1. 已知 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 都是一位自然数），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题普通

2. 观察下面的数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……．寻找规律，第 $\text{[math]}$ 个数据应是．

填空题普通

3. 观察下列等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …，根据其中的规律可得 $\text{[math]}$ 的结果的个位数字是．

填空题普通

1. 观察、归纳：

$\text{[math]}$ ：

$\text{[math]}$ ；

……

请你根据以上等式的规律，完成下列问题：

（1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（2）计算 $\text{[math]}$ .

填空题容易

2. 【观察】① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ ；

……

【归纳】由此可得： $\text{[math]}$ ；

【应用】请运用上面的结论，计算： $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. $\text{[math]}$ 是不为 $\text{[math]}$ 的有理数，我们把 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的差倒数．如： $\text{[math]}$ 的差倒数是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的差倒数是 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数，…，依此类推，则 $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

1. 小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(1) 利用发现的规律计算 $\text{[math]}$ ．

(2) 根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为 $\text{[math]}$ ，个位上的数字为 $\text{[math]}$ ，则另一个两位数的个位上的数字为；

用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的等式表示以上两位数相乘的规律；

(3) 请用所学知识证明②中的规律．

实践探究题困难

2. 观察下列等式，回答问题．

$\text{[math]}$ ；

(1) 试求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的值的个位数字是几？

解答题困难

3. 观测下列各式： $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

……

回答下面的问题：

(1) 猜想 $\text{[math]}$ ．（直接写出你的结果）

(2) 利用你得到的（1）中的结论，计算 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 计算 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 直接写出 $\text{[math]}$ 的值。

实践探究题困难