图1，在直角三角形纸片ABC中，，，．将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．【观察思考】（1）折痕的长为______；【实验探究】（2）在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当直线经过点B时，求的长；②如图3，当直线时，求的长；【挑战自我】（3）在绕点D旋转的过程中，连接，则的最小值为_____

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1. 图1，在直角三角形纸片ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将三角形纸片 $\text{[math]}$ 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 $\text{[math]}$ 使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针方向旋转得到 $\text{[math]}$ ，点E，C的对应点分别是点F，G，直线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点M（点M不与点A重合），与边 $\text{[math]}$ 交于点N．

【观察思考】（1）折痕 $\text{[math]}$ 的长为______；

【实验探究】（2）在 $\text{[math]}$ 绕点D旋转的过程中，探究下列问题：

①如图2，当直线 $\text{[math]}$ 经过点B时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图3，当直线 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

【挑战自我】（3）在 $\text{[math]}$ 绕点D旋转的过程中，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为______．

【考点】

三角形的角平分线、中线和高; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，在BC上找一点P，使P到AB的距离等于PC．请在图中标出点P的位置（不写作法，但保留作图痕迹）．

作图题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的中线，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的周长为15，求 $\text{[math]}$ 的长.

解答题容易

3. 如图所示， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 于P，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

利用相似三角形测高
发现、提出问题	周末，数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 $\text{[math]}$ ，同学们提出问题如下：围墙 $\text{[math]}$ 的高度是多少米？
分析问题	结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行了如下操作：①当阳光恰从围墙最高点A经窗户点C处射进房间地面F点时，测得 $\text{[math]}$ ；②当阳光恰从围墙最高点A经窗户点D处射进地面E点时，测得 $\text{[math]}$ ．此外，还测得：窗高 $\text{[math]}$ ，窗户距地面的高度 $\text{[math]}$ ．
解决问题	请利用上述数据，求出围墙 $\text{[math]}$ 的高度．