已知抛物线．

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 对于任意实数a，该抛物线都会经过第三象限的一个定点，求此定点的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

①抛物线的顶点为点D，点P是抛物线上一个动点（不与D重合），若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

②若点Q为△ABC的外心，点M在抛物线上，且在直线BC的上方，若 $\text{[math]}$ ，求点M的坐标．

【考点】

整式的加减运算; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．设抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．

(3) 设（2）中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧的部分与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的部分组成的新图象记为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，与图象 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，如图3．

①过 $\text{[math]}$ 的最高点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ 是图象 $\text{[math]}$ 上一个动点，当点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离小于4时，直接写出点 $\text{[math]}$ 横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的表达式；

(2) 求这个二次函数的对称轴（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 若抛物线上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图为2024年1月的日历，其中有一个“ $\text{[math]}$ ”形框，希望我们在新的一年“ $\text{[math]}$ ”（开心学习，热爱生活）．“ $\text{[math]}$ ”形框内包含7个数．

(1) 将“ $\text{[math]}$ ”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“ $\text{[math]}$ ”形框内的7个数中，从小到大排列第 $\text{[math]}$ 个数为 $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 形框内的 $\text{[math]}$ 个数字的和为________；

(2) 将“ $\text{[math]}$ ”形框上下左右平移，设“ $\text{[math]}$ ”形框内的 $\text{[math]}$ 个数字之和为 $\text{[math]}$ ．请求出此时“ $\text{[math]}$ ”形框中的7个数中最小的数；

(3) 若某两次在不同位置框住的 $\text{[math]}$ 数之和分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题普通