【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G ，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．

1.

【操作思考】

如图1，将正方形纸片 $\text{[math]}$ 沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，点A的对应点为点G ，折痕为 $\text{[math]}$ ，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，折痕为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 【探究应用】

将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的中垂线分别交 $\text{[math]}$ 于点P ， H ，连结 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 勾股定理; 翻折变换（折叠问题）; 三角形的综合; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图， $\text{[math]}$ 为线段AB上一点， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 于点C，P为射线CD上一点，连结PA，PB.

(1) 【发现、提出问题】

①当PC=3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

②小亮发现PC取不同值时， $\text{[math]}$ 的值存在一定规律，请猜想该规律： ▲ .

(2) 【分析、解决问题】请证明你的猜想.

(3) 【运用】当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的周长.

实践探究题普通

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难