定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．

1. 定义：我们将 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 称为一对“对偶式”．因为 $\text{[math]}$ ，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．

例如：已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值，可以这样解答：

因为 $\text{[math]}$ ，

所以 $\text{[math]}$ ．

(1) 已知： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 结合已知条件和第①问的结果，解方程： $\text{[math]}$ ；

(3) 计算： $\text{[math]}$ ．

【考点】

二次根式的性质与化简; 无理方程;

【答案】

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实践探究题困难

1. 先阅读材料，然后回答问题．

(1) 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 $\text{[math]}$ ．

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

$\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

$\text{[math]}$ ③

$\text{[math]}$ ． ④

在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；

(2) 请根据你从上述材料中得到的启发，化简 $\text{[math]}$ ；

(3) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 观察下列各式及验证过程：

$\text{[math]}$

验证： $\text{[math]}$

(1) 按照上述等式及验证过程的基本思路，猜想 $\text{[math]}$ 的变形结果，并进行验证；

(2) 针对上述各式反映的规律，写出用 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为整数）表示的等式，并验证．

实践探究题普通

3. [阅读材料]数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现．有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明发现，如果a²±2ab+b²=(a±b)² ，那么 $\text{[math]}$ =|a±b|．如何化简重二次根式 $\text{[math]}$ ？可以把9+4 $\text{[math]}$ 转化为2²+2×2× $\text{[math]}$ +( $\text{[math]}$ )²=(2+ $\text{[math]}$ )²的完全平方形式，因此 $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ．

[解决问题]

(1) 化简下列各式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

(2) [拓展延伸]小明继续探索，若设a+b $\text{[math]}$ =(m+n $\text{[math]}$ )²=m² +2n²+2mn $\text{[math]}$ (其中a，b ，m，n均为整数)，则有a=m² +2n² ，b= 2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b $\text{[math]}$ 的式子化为平方式的方法．
当a，b，m，n均为正整数时，已知a+b $\text{[math]}$ =(m+n $\text{[math]}$ )² ，请用含m，n的式子分别表示a，b．

(3) 化简： $\text{[math]}$ ．

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