记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.

1. 记

上的可导函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 的数列

称为函数 $\text{[math]}$ 的“牛顿数列”.已知数列 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的牛顿数列，且数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列并求 $\text{[math]}$ ；

(3) 设数列 $\text{[math]}$ 的前

项和为 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求t的取值范围.

【考点】

导数的四则运算; 利用导数研究函数的单调性; 等比数列概念与表示; 等比数列的通项公式; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N~M ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 证明：若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．设R~S ，且 $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 设M是由满足下列条件的函数 $\text{[math]}$ 构成的集合：①方程 $\text{[math]}$ 有实根；② $\text{[math]}$ 在定义域区间D上可导，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

(1) 判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ 为集合M中的任意一个元素，证明：对其定义域区间D中的任意 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$

解答题普通