如图，对于曲线，存在圆C满足如下条件：①圆C与曲线有公共点A ，且圆心在曲线凹的一侧；②圆C与曲线在点A处有相同的切线；③曲线的导函数在点A处的导数(即曲线的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆在点处的二阶导数等于)；则称圆C为曲线在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

1. 如图，对于曲线 $\text{[math]}$ ，存在圆C满足如下条件：

①圆C与曲线 $\text{[math]}$ 有公共点A ，且圆心在曲线 $\text{[math]}$ 凹的一侧；

②圆C与曲线 $\text{[math]}$ 在点A处有相同的切线；

③曲线 $\text{[math]}$ 的导函数在点A处的导数(即曲线 $\text{[math]}$ 的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的二阶导数等于 $\text{[math]}$ )；

则称圆C为曲线 $\text{[math]}$ 在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 在原点的曲率圆的方程；

(2) 求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率半径的最小值；

(3) 若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处有相同的曲率半径，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

导数的几何意义; 导数的四则运算; 函数的单调性与导数正负的关系; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 利用导数研究曲线上某点切线方程;

【答案】

您现在未登录，无法查看试题答案与解析。登录

解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的根 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题普通