转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图 1，在中，．

1. 转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：

如图 1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 【基础巩固】将图 1 中 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ (如图 2)，连结 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 【思考探究】将图 1 中 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 并缩小得到 $\text{[math]}$ (如图 3)，使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ．

②用等式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 【拓展延伸】将图 1 中 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转某个角度 (小于 $\text{[math]}$ ) 并缩小得到 $\text{[math]}$ (如图 4)，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

三角形全等及其性质; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 相似三角形的判定; 求特殊角的三角函数值; 旋转的性质; 等腰直角三角形; 三角形全等的判定-SSS; 相似三角形的性质-对应角;

【答案】

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实践探究题困难

【感知】如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA．

【探究】如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．

【拓展】如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE，若AF= $\text{[math]}$ CF=2BE，S_△ABF=6，求S_△BCD的大小．

实践探究题普通

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

(3)

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难