已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一条公切线.

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ 三点，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 成等差数列，证明：满足条件的 $\text{[math]}$ 有且只有一个.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上某点切线方程; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.

解答题普通

3. 设函数 $\text{[math]}$ （e为自然对数的底数），函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称．

(1) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，求m的取值范围；

(2) 证明： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且仅有两条公切线，且 $\text{[math]}$ 图象上两切点横坐标互为相反数．

解答题困难