在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法.给定两个正整数m ， n ，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足；，， ...，.其中为函数的k阶导数.对于给定的正整数m ， n ，函数的阶帕德近似是唯一的.函数的帕德近似记为.例如，.

1. 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法.

给定两个正整数m ， n ，若函数 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶导数存在，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的 $\text{[math]}$ 阶帕德近似定义为：

$\text{[math]}$ ，

且满足； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ...， $\text{[math]}$ .

其中 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的k阶导数.对于给定的正整数m ， n ，函数 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶帕德近似是唯一的.

函数 $\text{[math]}$ 的帕德近似记为 $\text{[math]}$ .例如， $\text{[math]}$ .

(1) 证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；

(3) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用不等式的性质比较数（式）的大小; 数列的递推公式; 数列与不等式的综合;

【答案】

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解答题困难

1. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．