为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．

1. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道 $\text{[math]}$ 类试题得10分；每答对1道 $\text{[math]}$ 类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学 $\text{[math]}$ 类试题中有7道题能答对，而他答对各道 $\text{[math]}$ 类试题的概率均为 $\text{[math]}$ ．

(1) 若该同学只抽取3道 $\text{[math]}$ 类试题作答，设 $\text{[math]}$ 表示该同学答这3道试题的总得分，求 $\text{[math]}$ 的分布和期望；

(2) 若该同学在 $\text{[math]}$ 类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．

【考点】

离散型随机变量的期望与方差; 概率分布列;

【答案】

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解答题普通

1. 北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：

成绩	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
人数	5	5	15	25	10

(1) 从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

(2) 用分层抽样的方法，在考核成绩为 $\text{[math]}$ 的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在 $\text{[math]}$ 的学生数为X ，求X的分布列.

解答题普通

2. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1) 根据所给数据，完成下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生	12
女生		5
合计			30

(2) 若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.

解答题普通

3. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\text{[math]}$ .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1) 求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

(2) 求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

解答题普通