在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a ， b ，且a∥b ，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．

1. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a ， b ，且a∥b ，直角三角尺ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．

(1) 【操作发现】如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1＝55°，则∠2＝度；

(2) 【探索证明】如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由；

(3) 【拓展应用】如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，转动三角尺，点A始终在直线BD（D为直线b上一点）的上方，若存在∠1＝5∠CBD（ $\text{[math]}$ ），请直接写出射线BA与直线a所夹锐角的度数．

【考点】

平行线的性质; 对顶角及其性质; 平行公理的推论;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图①，E是直线AB ， CD内部一点，AB∥CD ，连结EA ， ED ．

(1) 探究猜想：

①若∠A＝40°，∠D＝30°，则∠AED＝ °；

②猜想图①中∠AED ， ∠EAB ， ∠EDC的关系，并说明理由．

(2) 拓展应用：

如图②，射线FE与AB ， CD交于分别交于点E、F ， AB∥CD ， a ， b ， c ， d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界），其中区域a ， b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB ， ∠PFC ， ∠EPF的关系（任写出两种，并直接写出答案）．

实践探究题困难

2. 综合与实践数学社团的同学以“两条平行线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）”为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间．

(1) 观察猜想：如图1，把三角板的 $\text{[math]}$ 角的顶点E，G 分别放在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的度数为；

(2) 类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点 G 放在 $\text{[math]}$ 上，且保持不动，绕点 G 转动三角板，若点E恰好落在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所夹锐角为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 解决问题：把三角板的锐角顶点G放在 $\text{[math]}$ 上，在绕点G旋转三角板的过程中，若存在 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )，请求出射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交所夹锐角的度数．

实践探究题普通

3. 综合与探究

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一副三角板的摆放”为主题展开活动．

(1) 如图1，将两块三角板的一直角边重合，含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的斜边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板的一个顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 如图2，在图1的基础上，直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，让直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使得点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3) 在图1的基础上，如图3，仍然让直角三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，直角三角板 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转（旋转度数小于 $\text{[math]}$ ），设边 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当斜边 $\text{[math]}$ 与另一直角三角板的某一边平行时，直接写出 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）的度数．

实践探究题困难