若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P的距离为1的点所对应的数分别记为a，b。定义：若数，则称数K为“尼尔数”，例如：点P所表示的数是3，则，，那么；若P所表示的数为12，则，，那么，所以12，147是“尼尔数”．

1. 若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P的距离为1的点所对应的数分别记为a，b。定义：若数 $\text{[math]}$ ，则称数K为“尼尔数”，例如：点P所表示的数是3，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ；若P所表示的数为12，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，所以12，147是“尼尔数”．

(1) 请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并证明所有“尼尔数”一定被9除余3；

(2) 已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”。

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题未知困难

1. 定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数。例如：[5.71]=5. [5]=5. [-π]=-4.

(1) 如果[a]=-3，求a的取值范围

(2) 如果[ $\text{[math]}$ 求满足条件的所有正整数x.

解决问题未知普通

2. 已知，我们把任意形如： $\text{[math]}$ 的五位自然数(其中c=a+b，1≤a≤9，0≤b≤8)称之为喜马拉雅数，并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为F(n)，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I(n)。

(1) 求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除：

(2) 求F(3)+I(8)的值。

解决问题未知困难

3. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某些特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”.

定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数 n为“纯数”.

例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位.

(1) 请直接写出1949 到 2020之间的“纯数”.

(2) 求出不大于100的“纯数”个数，并说明理由.

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