许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

1. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于y轴对称． $\text{[math]}$ 分米，点A到x轴的距离是 $\text{[math]}$ 分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 分别延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离．

【考点】

正比例函数的图象和性质; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-拱桥问题;

【答案】

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解答题普通

1. 定义：对于y关于x的函数，函数在 $\text{[math]}$ 范围内的最大值，记作 $\text{[math]}$ 如函数 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 范围内，该函数的最大值是6，即， $\text{[math]}$ ．

请根据以上信息，完成以下问题：

已知函数 $\text{[math]}$ （a为常数）

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

①直接写出该函数的表达式，并求 $\text{[math]}$ 的值；

②已知 $\text{[math]}$ 求p的值．

(2) 若该函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求k的值．

解答题普通

2. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．设抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．

(3) 设（2）中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧的部分与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的部分组成的新图象记为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，与图象 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，如图3．

①过 $\text{[math]}$ 的最高点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ 是图象 $\text{[math]}$ 上一个动点，当点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离小于4时，直接写出点 $\text{[math]}$ 横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的表达式；

(2) 求这个二次函数的对称轴（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 若抛物线上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难