我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，， B为中点，当时，伞完全张开．（1）求的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）

1. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\text{[math]}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点 $\text{[math]}$ 的位置，且A，B， $\text{[math]}$ 三点共线， $\text{[math]}$ ， B为 $\text{[math]}$ 中点，当 $\text{[math]}$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\text{[math]}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

【考点】

等腰三角形的性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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解答题普通

1. 2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂 $\text{[math]}$ ，两臂夹角 $\text{[math]}$ 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

解答题容易

2. 小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图①所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动，如图②是其侧面示意图，现测得底座最高点 $\text{[math]}$ 到桌面高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，小兴妈妈通过转动镜面，测得 $\text{[math]}$ ，求此时镜面上的点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

综合题容易

3. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为 $\text{[math]}$ 表 $\text{[math]}$ ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 $\text{[math]}$ 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 $\text{[math]}$ 垂直圭 $\text{[math]}$ ，已知该市冬至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，夏至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $\text{[math]}$ 的长）为 $\text{[math]}$ 米，求表 $\text{[math]}$ 的长（最后结果精确到 $\text{[math]}$ 米）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题容易