我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，， B为中点，当时，伞完全张开．（1）求的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）

1. 小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图①所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动，如图②是其侧面示意图，现测得底座最高点 $\text{[math]}$ 到桌面高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，小兴妈妈通过转动镜面，测得 $\text{[math]}$ ，求此时镜面上的点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

综合题容易

2. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为 $\text{[math]}$ 表 $\text{[math]}$ ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图 $\text{[math]}$ 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 $\text{[math]}$ 垂直圭 $\text{[math]}$ ，已知该市冬至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，夏至正午太阳高度角（即 $\text{[math]}$ ）为 $\text{[math]}$ ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $\text{[math]}$ 的长）为 $\text{[math]}$ 米，求表 $\text{[math]}$ 的长（最后结果精确到 $\text{[math]}$ 米）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题容易

3. 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已经倾斜，其塔顶中心点B偏离垂直中心线 $\text{[math]}$ .1972年比萨地区发生地震，这座高 $\text{[math]}$ 的斜塔在大幅度摇摆后仍岿然屹立，但此时塔身中心线与垂直中心线所成的夹角增至 $\text{[math]}$ (如图)，求此时塔顶中心点偏离垂直中心线比落成时增加了多少米(结果精确到0.1m)？ $\text{[math]}$

综合题容易

1. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长 $\text{[math]}$ ，支撑板长 $\text{[math]}$ ，底座长 $\text{[math]}$ ，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且 $\text{[math]}$ ，托板 $\text{[math]}$ 可绕点C转动，支撑板 $\text{[math]}$ 可绕D点转动．如图2，若 $\text{[math]}$ ． (参考数值 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

(1) 求点C到直线 $\text{[math]}$ 的距离(精确到0.1cm)；

(2) 求点A到直线 $\text{[math]}$ 的距离(精确到0.1cm)．

解答题普通

2. 海钓时将鱼竿 $\text{[math]}$ 摆成如图1所示．已知 $\text{[math]}$ ，鱼竿尾端 $\text{[math]}$ 离岸 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．海面与地面 $\text{[math]}$ 平行且相距 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，无鱼上钩时，海面上方鱼线 $\text{[math]}$ 与海面 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，海面下方的鱼线 $\text{[math]}$ 与海面 $\text{[math]}$ 垂直，鱼竿 $\text{[math]}$ 与地面 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ．求点 $\text{[math]}$ 到岸边 $\text{[math]}$ 的距离（精确到 $\text{[math]}$ ）：

(2) 如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 $\text{[math]}$ ，此时鱼线被拉直，鱼线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好位于海面．求点 $\text{[math]}$ 到岸边 $\text{[math]}$ 的距离．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

解答题普通

3. 随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆 $\text{[math]}$ 上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨 $\text{[math]}$ 与水平方向的夹角 $\text{[math]}$ ，伞骨AB与AC水平方向的最大距离 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，撑杆 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图②，当伞完全撑开并直立时，求点 $\text{[math]}$ 到地面的距离．

(2) 某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜 $\text{[math]}$ 与铅垂线 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 夹角，如图③，若斜射阳光与 $\text{[math]}$ 所在直线垂直时，求 $\text{[math]}$ 在水平地面上投影的长度约是多少．（说明： $\text{[math]}$ ，结果精确到 $\text{[math]}$ ）

解答题困难

1. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则点A到 $\text{[math]}$ 的距离为（结果精确到0.1）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

填空题普通

2. 如图，一根3m长的木头 $\text{[math]}$ 斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度 $\text{[math]}$ 为1m时，木头 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ 的余弦 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场 $\text{[math]}$ 进行改造，已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 $\text{[math]}$ （结果保留根号）．

填空题容易

1. 数学兴趣小组对“测量某池塘宽度 $\text{[math]}$ ”进行了热烈讨论，展示方法如下：

小丽的方法：如图（1），在过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 可直接到达点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的延长线上确定一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，测出 $\text{[math]}$ 的长，则 $\text{[math]}$ ．

小丽的理由： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（依据是：______）

小强的方法：如图（2），在地面上选取一个可以直接到达点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，测出 $\text{[math]}$ 的长，则 $\text{[math]}$ ．

小强的理由： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中位线， $\text{[math]}$ ．（依据是：______）

小亮的方法：如图（3），在 $\text{[math]}$ 的延长线上取一点 $\text{[math]}$ ，在过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使从点 $\text{[math]}$ 可直接到达点 $\text{[math]}$ ，在过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，测出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长，即可求出 $\text{[math]}$ 的长．

小方的方法：如图（4）在过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，只需测得 $\text{[math]}$ 的度数和 $\text{[math]}$ 的长度，就可求出池塘 $\text{[math]}$ 的宽度．

请根据以上方法按要求完成以下问题：

(1) 填空：小丽的方法依据是；小强的方法依据是；

(2) 若按照小亮的方法，测出 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m，请你求出池塘 $\text{[math]}$ 的宽度；

(3) 若按照小方的方法，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为34米，求池塘 $\text{[math]}$ 的宽度．

解答题普通

2. 【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．

生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形 $\text{[math]}$ 为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 固定在外墙上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行， $\text{[math]}$ 米．图 $\text{[math]}$ 是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面 $\text{[math]}$ （不包括 $\text{[math]}$ ）上．

数学活动：数学学习小组通过研究支架 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的长度，支架端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离以及支架 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ），对雨棚进行了重新设计．图 $\text{[math]}$ 是第一小组的设计示意图，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米．如图 $\text{[math]}$ 是第二小组的设想，其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，

问题解决：

(1) 【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．

(2) 【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）．

(3) 【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案．

问题1：探索 $\text{[math]}$ 的最大值；

问题2：探索 $\text{[math]}$ 最大时 $\text{[math]}$ 的度数．

实践探究题困难