如图1，小明借助几何软件进行数学探究：中，，， D是边的中点，E是线段上的动点（不与点A、点D重合），边关于对称的线段为，连接.

1. 如图1，小明借助几何软件进行数学探究： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是边 $\text{[math]}$ 的中点，E是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不与点A、点D重合），边 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称的线段为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形时， $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ .

(2) 图2，延长 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点G.

①请问 $\text{[math]}$ 的大小是否变化?如果不变，请求出 $\text{[math]}$ 的大小；如果变化，请说明理由.

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积最大为_▲_，此时 $\text{[math]}$ _▲_.

【考点】

等腰三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 轴对称的性质; 定角定弦辅助圆模型;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在斜边 $\text{[math]}$ 上求作线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

(1) 证明△AMF是等腰三角形；

(2) 当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

(3) 将y表示成x的函数，并求y的最大值．

综合题普通

3. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点.

(1) 请用直尺和圆规过点 $\text{[math]}$ 作出 $\text{[math]}$ 的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

(2) 若（1）所作切线上取一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，若半径为2，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通