投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．

1. 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．

(1) 设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；

(2) 记n次抛掷得分恰为 $\text{[math]}$ 分的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ；

(3) 投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为 $\text{[math]}$ ，当b，取最大值时，求n的值．

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; n次独立重复试验中恰好发生k次的概率; 离散型随机变量的期望与方差; 概率分布列; 组合及组合数公式;

【答案】

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解答题普通

1. 机器人一般是指自动控制机器（Robot）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了 $\text{[math]}$ 型､ $\text{[math]}$ 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口 $\text{[math]}$ ，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心 $\text{[math]}$ 为机器人的出发点， $\text{[math]}$ 型､ $\text{[math]}$ 型两个机器人别从出发点出发沿路线 $\text{[math]}$ 任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. $\text{[math]}$ 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的； $\text{[math]}$ 型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 型机器人为了离开房间尝试的次数，以 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 型机器人为了离开房间尝试的次数.

(1) 试求离散型随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的概率.

解答题普通

2. 李医生家在 $\text{[math]}$ 小区，他在 $\text{[math]}$ 医院工作，从家开车到医院上班有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两条路线（如图），路线 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；路线 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 若走路线 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求最多遇到1次红灯的概率；

(2) 若走路线 $\text{[math]}$ ，求遇到红灯次数 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；

(3) 按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 哪条路线上班更好．

解答题普通

3. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数．

(1) 若有放回的抽取，求X的分布列与期望；

(2) 若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过 $\text{[math]}$ 的概率．

解答题普通