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1.

(1) 探究1：如下图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点为射线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 探究2：

如下图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(3) 拓展探究：

如下图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点为射线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ． (数据： $\text{[math]}$ )

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ；(填“＞”或“＝”或“＜”)

②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 菱形的性质; 矩形的性质;

【答案】

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实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难