问题情境：如图1，，， .求的度数.小明的思路是：过P作，通过平行线性质，可得.问题解决：

1. 问题情境：

如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的度数.小明的思路是：过P作 $\text{[math]}$ ，通过平行线性质，可得 $\text{[math]}$ .

问题解决：

(1) 如图2， $\text{[math]}$ ，直线l分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点M、N，点P在直线l上运动，当点P在线段 $\text{[math]}$ 上运动时（不与点M、N重合）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并说明理由；

(2) 在（1）的条件下，如果点P在线段 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 的延长线上运动时.请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ，点P是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的一点（点P在点A、C右侧），连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线交于点Q.若 $\text{[math]}$ ，请结合（2）中的规律，求 $\text{[math]}$ 的度数.

【考点】

平行线的判定与性质; 三角形的外角性质; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题探究：

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，点P在直线 $\text{[math]}$ 上方（ $\text{[math]}$ ）．

①请在拐点P处作直线 $\text{[math]}$ 平行∥平行线；

②探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为_▲_．

(2) 问题拓展：如图2， $\text{[math]}$ ，点P在直线 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线和 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 所在的直线交于点G（点G在直线 $\text{[math]}$ 的下方），请写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

(3) 问题迁移：如图3， $\text{[math]}$ ，点P在直线 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的三等分线，且 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点M ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点N（点N在直线 $\text{[math]}$ 的下方）．设 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：．

实践探究题困难

(1) 问题探究：如图1， $\text{[math]}$ ，点P在直线AB上方（ $\text{[math]}$ ）．

①请在拐点P处作直线AB的平行线；

②探究 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．

(2) 问题拓展：如图2， $\text{[math]}$ ，点P在直线AB上方， $\text{[math]}$ 的角平分线EM所在的直线和 $\text{[math]}$ 的角平分线FN所在的直线交于点G（点G在直线CD的下方），请写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

(3) 问题迁移：如图3， $\text{[math]}$ ，点P在直线AB上方，EG、ES、FM、FT分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的三等分线，且 $\text{[math]}$ ．直线ES与直线FM交于点M ，直线GE与直线FT交于点N（点N在直线CD的下方）．设 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系：．

实践探究题困难

3. 【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：

(1) 如图1 所示，已知AB∥CD，点E为AB， CD之间一点，连接BE， DE，得到∠BED，若∠B=20°， ∠D=30°，则∠BED的度数为；

(2) 【类比迁移】如图2所示，已知AB∥CD，点E为AB， CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点 F，若∠E=α，请用含α的式子表示∠F；

(3) 【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3 所示，已知AB∥CD，点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上， ∠ABF与. $\text{[math]}$ 的平分线相交于点 G，请猜想∠G与∠E之间的数量关系，并说明理由.

实践探究题困难