已知，函数

1. 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有公共点，

①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

导数的四则运算; 简单复合函数求导法则; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上某点切线方程; 函数零点存在定理;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ …是自然对数的底数），曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴平行．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(3) 设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数．证明：对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$

(1) 若过点 $\text{[math]}$ 作函数 $\text{[math]}$ 的切线有且仅有两条，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若对于任意 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 都有唯一交点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难