如图1，为外接圆，点D、E分别为中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G.已知.

1. 如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外接圆，点D、E分别为 $\text{[math]}$ 中点，连结AD、AE、DE，DE分别与AB、AC交于点F、G.已知 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，连结CD交AB于点 $\text{[math]}$ ，连结BE交CD于点 $\text{[math]}$ ，连结BD、CE.若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形.

(3) 在（2）的基础上，若 $\text{[math]}$ ，

①求DN的长；

②求 $\text{[math]}$ .

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 圆周角定理; 三角形全等的判定-ASA; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，△ABC内接于⊙O，∠A = 30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长.

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不重合）．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的纵坐标（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的纵坐标在 $\text{[math]}$ 时的取值范围；

(3) 对于 $\text{[math]}$ 的每一个确定的值， $\text{[math]}$ 有最小值 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，若抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，则称 $\text{[math]}$ 为抛物线P的“交轴三角形”．

(1) 若抛物线 $\text{[math]}$ 存在“交轴三角形”．

①k的取值范围为________；

②若 $\text{[math]}$ ，则该三角形是________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）

(2) 若抛物线 $\text{[math]}$ 的“交轴三角形”是一个等边三角形，求a，c之间的数量关系．

解答题困难