如图，在中，，，在线段上取点，作于，连接，点是中点，连接.

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在线段 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系，并证明；

(2) 将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）；

①在（1）中线段 $\text{[math]}$ 的位置关系和数量关系是否依然成立？请证明你的结论；

②若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心，直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

圆周角定理; 确定圆的条件; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，A市气象台预报：一沙尘暴中心在A市正西方的B处，正迅速向北偏东的BC方向移动，距沙尘暴中心一定的范围内都将受沙尘暴影响，我们称这个范围为“波及范围”．若想预测A市是否会受这次沙尘暴的影响，只需测量A市到射线BC的距离，若这个距离大于波及范围则A市不会受到影响，若这个距离小于波及范围则A市会受到沙尘暴的影响．结合题意，在地图中作出所要测量的线段：

①作线段AB的垂直平分线l；

②直线l与线段AB交于点O；

③以O为圆心，OB长为半径画圆，交射线BC于点H；

④连接AH，AH即为所求作．

(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 依据作图过程完成如下证明．

证明：

∵AB是⊙O直径，

∴ $\text{[math]}$ ▲ （）（填推理的依据）．

∴AH即为所求作．

综合题普通

2. 已知：如图，点M为锐角∠APB 的边PA上一点．

求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD ＝2∠P．

作法：

①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D点；

②作射线MD．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：∵P、C、D都在⊙M 上，

∠P为弧CD所对的圆周角，∠CMD为弧CD所对的圆心角，

∴∠P＝ $\text{[math]}$ ∠CMD（）（填推理依据）．

∴∠AMD＝2∠P．

综合题普通

3. 小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

(1) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为⊙O上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .请你写出图中的两个弦切角；（不添加新的字母和线段）

(2) 小锐目测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？

已知：如图，直线 $\text{[math]}$ 与⊙O相切于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆上不同于 $\text{[math]}$ 的两点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

(3) 如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

综合题普通