如图，矩形中，对角线与相交于点O ，过O ， C两点的切线段于点T ，分别交线段于点F ， E ， M ，连结，已知．

1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ，过O ， C两点的 $\text{[math]}$ 切线段 $\text{[math]}$ 于点T ，分别交线段 $\text{[math]}$ 于点F ， E ， M ，连结 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若M为 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的半径；

(3) 若 $\text{[math]}$ 的半径为3，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 矩形的性质; 圆内接四边形的性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

(1) 证明△AMF是等腰三角形；

(2) 当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

(3) 将y表示成x的函数，并求y的最大值．

综合题普通

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点.

(1) 请用直尺和圆规过点 $\text{[math]}$ 作出 $\text{[math]}$ 的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

(2) 若（1）所作切线上取一点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，若半径为2，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题普通

3. 将一根长为 $\text{[math]}$ 的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为 $\text{[math]}$ ，腰为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求剪掉部分的铁丝长度．

(2) 若围成的等腰三角形的周长为 $\text{[math]}$ ，求铁丝的长度．

综合题普通