已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．

1. 已知动圆 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ 且与直线 $\text{[math]}$ 相切，记圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．

(1) 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是轨迹 $\text{[math]}$ 上的两个动点且 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 与动点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 交于不同于 $\text{[math]}$ 的三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 的重心的横坐标为定值．

【考点】

平面内两点间的距离公式; 轨迹方程; 曲线与方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左右顶点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该双曲线上关于 $\text{[math]}$ 轴对称的两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 两条直线分别与轨迹 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

解答题普通

2. 如图所示，定点 $\text{[math]}$ 到定直线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ .动点 $\text{[math]}$ 到定点 $\text{[math]}$ 的距离等于它到定直线 $\text{[math]}$ 距离的2倍.设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹是曲线 $\text{[math]}$ .

(1) 请以线段 $\text{[math]}$ 所在的直线为 $\text{[math]}$ 轴，以线段 $\text{[math]}$ 上的某一点为坐标原点 $\text{[math]}$ ，建立适当的平面直角坐标系 $\text{[math]}$ ，使得曲线 $\text{[math]}$ 经过坐标原点 $\text{[math]}$ ，并求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 请指出（1）中的曲线 $\text{[math]}$ 的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.

(3) 设（1）中的曲线 $\text{[math]}$ 除了经过坐标原点 $\text{[math]}$ ，还与 $\text{[math]}$ 轴交于另一点 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点 $\text{[math]}$ 作抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，交抛物线 $\text{[math]}$ 的准线于点 $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在一个定点 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ 为直径的圆恒过 $\text{[math]}$ .若存在，求出 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，则说明理由.

解答题普通