“嫦娥五号”探测器已成功实施近月制动，进入环月轨道.探测器在近月点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅰ和近月圆轨道Ⅱ，简化过程如图。已知探测器在轨道Ⅱ上绕月运行的周期为，轨道Ⅰ近月点和远月点到月心距离分别为a和b，引力常量为G。求：

1. “嫦娥五号”探测器已成功实施近月制动，进入环月轨道.探测器在近月点多次变轨后依次进入椭圆轨道Ⅰ和近月圆轨道Ⅱ，简化过程如图。已知探测器在轨道Ⅱ上绕月运行的周期为 $\text{[math]}$ ，轨道Ⅰ近月点和远月点到月心距离分别为a和b，引力常量为G。求：

(1) 月球的质量M；

(2) 探测器在轨道Ⅰ上绕月运行的周期T。

【考点】

开普勒定律; 万有引力定律的应用; 卫星问题;

【答案】

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计算题普通

1. A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R，A卫星离地面的高度为R，周期为T，B卫星离地面高度为3R，则：（结果可用根式表示）

(1) A、B两卫星周期之比是多少？

(2) 若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近？

(3) 若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远？

计算题普通

2. “嫦娥六号”探测器将于 2024年发射，计划从月球背面采集更多样品，“嫦娥六号”登月部分过程如图所示，在着陆前，探测器在以月球中心为圆心，半径为r

圆轨道I上运动，周期为T₁；经数次变轨，探测器在紧贴距离月球表面高度为h（未知）的圆轨道II上做短暂逗留，周期为T₂；待准备充分后，探测器经过复杂的减速过程后着陆。已知月球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，现不考虑月球自转的影响，求：

(1) 月球的质量M；

(2) 月球的半径R；

(3) 高度 h。

计算题普通

3. 2023年7月12日，中国载人航天工程办公室副总师张海联披露，我国计划在2030年前实现载人登月。若宇航员在月球表面的h高处由静止释放一个小球，经过时间t小球落到月球表面，将月球视为质量均匀的球体，已知月球的半径为R，引力常量为G，问：

(1) 月球的密度是多少？

(2) 若在月球表面发射绕月球飞行的卫星，则最小的发射速度要达到多少？

计算题普通