三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.

1. 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为空间向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的叉乘，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为单位正交基底.以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，分别以 $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴､ $\text{[math]}$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 $\text{[math]}$ 是空间直角坐标系中异于 $\text{[math]}$ 的不同两点.

(1) ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

②证明： $\text{[math]}$ .

(2) 记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

(3) 问： $\text{[math]}$ 的几何意义表示以 $\text{[math]}$ 为底面､ $\text{[math]}$ 为高的三棱锥体积的多少倍？

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 矩阵与向量乘法的意义; 同角三角函数间的基本关系; 空间向量的数量积运算的坐标表示;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，已知在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求四棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积；

(1) 求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

(1) 已知正四棱锥的底面边长是 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，求该正四棱锥的体积；

(2) 如图 $\text{[math]}$ 单位： $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分绕 $\text{[math]}$ 旋转一周所形成的几何体的体积．

解答题普通

3. 如图，AB是圆柱 $\text{[math]}$ 的一条母线，BC过底而圆心O ， D是圆 $\text{[math]}$ 上一点．已知 $\text{[math]}$ ，

(1) 求该圆柱的表面积；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的三边绕母线AB所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积 $\text{[math]}$ ．

解答题普通