甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．

1. 甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．

(1) 求甲通过初试的概率；

(2) 求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量 $\text{[math]}$ 为甲的得分成绩，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．

【考点】

相互独立事件的概率乘法公式; 古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量的期望与方差; 条件概率;

【答案】

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解答题普通

1. 除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家 $\text{[math]}$ 个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；

(2) 现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为 $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的最小值.

注：若 $\text{[math]}$ 均为离散型随机变量，则 $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A ， B ， C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：

歌曲	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
猜对的概率	0.8	0.5	0.5
获得的奖励基金金额/元	1000	2000	3000

(1) 求甲按“ $\text{[math]}$ ”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

(2) 甲决定按“ $\text{[math]}$ ”或者“ $\text{[math]}$ ”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.

解答题普通

3. 3月14日为国际数学日，也称为 $\text{[math]}$ 节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是 $\text{[math]}$ ，通过第二轮比赛的概率分别是 $\text{[math]}$ ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.

(1) 若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望；

(2) 已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是 $\text{[math]}$ ，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.

解答题困难