在中，．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 特例证明：如图1，点D，E分别在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 探索发现：将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3) 拓展运用：如图3，点D在 $\text{[math]}$ 内部，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长（直接写出答案）．

【考点】

平行线的性质; 等腰三角形的性质; 勾股定理; 等腰直角三角形;

【答案】

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实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难