在矩形中，为常数，点是对角线上一动点不与，重合，将射线绕点逆时针旋转与射线交于点，连接．

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 特例发现：如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，将点 $\text{[math]}$ 移动到对角线交点处，可发现点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；当点 $\text{[math]}$ 移动到其它位置时， $\text{[math]}$ 的大小 $\text{[math]}$ 填“改变”或“不变” $\text{[math]}$ ；

(2) 类比探究：如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时，当 $\text{[math]}$ 的值确定时，请探究 $\text{[math]}$ 的大小是否会随着点 $\text{[math]}$ 的移动而发生变化，并说明理由；

(3) 拓展应用：当 $\text{[math]}$ 时，如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

勾股定理; 矩形的判定与性质; 正方形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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实践探究题困难

爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

(1) 【特例探究】

如图1，当tan∠PAB=1，c=4 $\text{[math]}$ 时，a=，b=；

如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=，b=；

(2) 【归纳证明】

请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

【拓展证明】

如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 $\text{[math]}$ ，AB=3，求AF的长．

实践探究题困难