用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为

1. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，则曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率为 $\text{[math]}$

(1) 已知函数 $\text{[math]}$ ，

①求函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率的平方 $\text{[math]}$ ；

②求函数 $\text{[math]}$ 的曲率 $\text{[math]}$ 的最大值．

(2) 函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在两个不同的点处曲率为0，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

简单复合函数求导法则; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）.

(1) 讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有两个零点分别为 $\text{[math]}$ .

①求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②求证： $\text{[math]}$ .

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的增区间；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为0．

①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②若 $\text{[math]}$ 恒成立，求正整数 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(2) 对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难